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La conjecture de Poincaré

Comment Grigori Perelman a élucidé l’un des problèmes les plus épineux de l’histoire des mathématiques.

Qu’est-ce que la conjecture de Poincaré ? Pour en faciliter la compréhension, il faut donner quelques principes de topologie.


Cette branche de la géométrie traite des propriétés élémentaires des figures géométriques, invariables lorsqu’on les étire ou les rétrécit, les déforme, les tord ou les dégonfle, du moment qu’elles ne sont ni déchirées ni perforées. La taille et la forme ne sont pas des propriétés topologiques ; des figures en forme de melon, de dé, ou de batte de base-ball sont considérées comme homéomorphes, c’est-à-dire topologiquement équivalentes, puisqu’elles peuvent être contractées, étendues ou se transformer l’une en l’autre, sans déchirure ni perforation. Qu’une courbe fermée dans l’espace puisse avoir un nœud ou non constitue cependant une propriété topologique de la courbe. Qu’une courbe fermée qui ne se coupe pas elle-même dans un plan, quelles que soient ses contorsions, divise le plan en deux parties – intérieur et extérieur – est une propriété topologique de la courbe. Le nombre 
de dimensions que possède une figure géométrique, qu’elle ait ou non des bords, et si oui de quel type, est encore une propriété topologique.
Autre élément qui compte en topologie, l’ordre de complexité d’une figure – le nombre de trous qu’elle possède. Un ballon est d’ordre 0 parce qu’il n’a aucun trou. Un tore (beignet, baguel, chambre à air) est d’ordre 1 ; une monture de lunettes sans les verres est d’ordre 2 ; et ainsi de suite. Les objets d’ordre 0 comme un melon et une batte de base-ball sont homéomorphes. De façon moins évidente, un beignet et une tasse à anse sont tous deux des figures de genre 1. Pour visualiser la chose, imaginez une tasse en glaise. Aplatissez le corps de la tasse et avec la matière récupérée augmentez la taille de l’anse. Le trou où passe le doigt devient ainsi comme le trou au centre d’un beignet.



Henri Poincaré était un mathématicien français à l’esprit universel qui a posé les bases de la théorie du chaos et, entre autres exploits, failli découvrir la théorie de la relativité. Dans un article de 1904, il se posait la question désormais célèbre de savoir si certaine propriété d’une sphère restait valable pour des sphères ayant un nombre de dimensions supérieur. Pour comprendre cette propriété, imaginez que vous faites glisser un élastique sur la surface d’un ballon. Vous réduisez doucement le périmètre de l’élastique, sans le rompre ni perdre le contact avec le ballon, jusqu’à ce qu’il se réduise à un point. Il est impossible de ramener l’élastique à la dimension d’un point si on le passe autour d’un beignet (que ce soit à l’intérieur ou à l’extérieur du beignet) ou d’un bretzel. En revanche, c’est possible si on fait passer l’élastique autour de l

’équivalent topologique d’un ballon dégonflé, par exemple un melon difforme, un dé biscornu ou une batte de base-ball sans protubérances à la surface.



On dit de la surface du ballon, mais non de celle du beignet, qu’elle est « simplement connexe ». Poincaré savait bien qu’une sphère bidimensionnelle – le terme utilisé en topologie pour la surface à deux dimensions d’une balle tridimensionnelle – pouvait se définir par cette propriété de connectivité simple. Autrement dit, toute surface fermée et simplement connexe, si difforme soit-elle, est homéomorphe à la surface d’un ballon. Il se demandait si la connectivité simple pouvait être également une caractéristique des sphères tridimensionnelles. Répondre oui revient à énoncer la conjecture de Poincaré.




Sphère tridimensionnelle


Cela ne paraît pas très impressionnant tant qu’on n’a pas compris ce qu’est une sphère tridimensionnelle. En topologie, le bord d’un cercle est une sphère unidimensionnelle, c’est-à-dire une ligne à une seule dimension de courbure constante dans un plan à deux dimensions. Et comme nous l’avons vu plus haut, la surface d’un ballon à deux dimensions dans un espace à trois dimensions est une sphère bidimensionnelle. Une sphère tridimensionnelle serait une entité analogue mais bien plus abstraite : le bord tridimensionnel d’un ballon dans un espace à quatre dimensions.



La quatrième dimension est facile à définir formellement mais difficile à saisir, sinon par analogie. Il faut deux coordonnées numériques pour localiser un point sur un plan à deux dimensions, et trois pour le localiser dans un espace à trois dimensions ; l’espace quadridimensionnel représente cet espace hypothétique qui demanderait quatre coordonnées. Il contient des équivalents quadridimensionnels de nos objets géométriques courants à trois dimensions – un cube à quatre dimensions, par exemple, a 16 angles et 32 arêtes correspondant aux 8 angles et 12 arêtes d’un cube ordinaire. Ainsi, un ballon quadridimensionnel aurait la même relation avec un ballon normal qu’un ballon de foot avec l’intérieur à deux dimensions d’un cercle. Il est impossible, sauf paraît-il à quelques rares mathématiciens comme William Thurston de l’université Cornell, de visualiser un ballon quadridimensionnel ou la sphère qui le contient, sinon par des plans de coupe, et on ne peut les définir avec rigueur ou les prendre pour base de réflexion qu’en usant de règles logiques renforcées par des éclairs d’intuition.



Comme pour toute conjecture mathématique importante, le chemin jusqu’à la solution est jalonné de résultats partiels sur lesquels les mathématiciens suivants doivent s’appuyer « comme des nains debout sur les épaules de géants * ». Dans le cas de la conjecture de Poincaré, les résultats partiels se sont accumulés au fil des années. Ils incluaient, entre autres, la preuve de conjectures équivalentes pour des sphères de dimension n, mais pas de dimension 3.



William Thurston et Richard Hamilton (de Berkeley) ont apporté des contributions majeures préparant le terrain pour la victoire de Perelman sur la récalcitrante sphère tridimensionnelle. Thurston a fait l’hypothèse qu’il existait seulement un petit nombre de géométries différentes possibles pour les formes à trois dimensions, dont la conjecture de Poincaré aurait pu être le corollaire, mais il ne l’a pas prouvé. La stratégie de Hamilton, en gros, s’appuyait sur le fait que les sphères de toute dimension ont une courbure constante. Par conséquent, s’il était possible de pétrir et façonner et déformer une boule indifférenciée dans un espace muni d’une dimension supplémentaire sans la percer ni la déchirer, cela pouvait prouver qu’après tout la boule, en termes de topologie, était bien une sphère tridimensionnelle. Pour étudier cette courbure constante, Hamilton a utilisé un outil mathématique, le flot de Ricci. Cette méthode de transformation des formes a un effet comparable à un flux de chaleur traversant un espace : la chaleur rend la température plus uniforme et le processus lisse les creux et les bosses, les monts et les vallées, révélant ainsi la forme sous-jacente. Pensez à l’effet produit en soufflant de l’air chaud dans un ballon fripé.



Mais il arrive parfois que le flot de Ricci soit interrompu par des « singularités » (des points où le processus se bloque et où la courbure explose au-delà des limites – un peu comme si elle se divisait par zéro) et qu’il faille le relancer en greffant sur la singularité des morceaux ayant d’autres formes, méthode que les topologues appelle « chirurgie ». Avant les travaux de Perelman, rien ne permettait d’affirmer qu’on pouvait réparer comme ça tout type de singularité. Perelman a établi de manière éblouissante que toutes les singularités possibles étaient réparables, démontré comment pratiquer la chirurgie requise et rassemblé tous les morceaux fibreux et pâteux de la boule. Comme l’écrit Gessen, « il a réussi parce qu’il a mis en œuvre l’insondable puissance de son cerveau pour embrasser tout l’éventail des possibilités : au bout du compte il a pu affirmer qu’il savait tout ce qui allait se produire… à mesure que l’objet se reformait ».


John Allen Paulos.

=> Lire le portrait de Grigori Perelman « Le cerveau d'un génie »

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